DIVISIÓN

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO.

EJEMPLO:

POLINOMIOS

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable es:

P_(x) = a _n xⁿ + an-₁ x^{n – 1} + ... + a₂x² + a₁ x + a₀

P(x); se lee "p" de "x" , es el nombre que se le da al polinomio.

También podemos llamarlos:

R(x) ; se lee R de x.

M(x) ; se lee M de x.

g(x) ; se lee g de x.

h(x) ; se lee h de x.

O sea que se le puede dar cualquier nombre, usando letras mayúsculas o minúsculas.

Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

P_(x) = a _n xⁿ + an-₁ x^{n – 1} + ... + a₂x² + a₁ x + a₀

Donde n es elemento de los Naturales; a₀, a₁, a₂, ... , a_n son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina variable independiente; " y = P(x)" se denomina variable dependiente.

Grado de un polinomio:

está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto.

Ejemplo:

P_(x) = x² + 3x – 4 Polinomio de grado 2

R_(x) = 3 Polinomio de grado 0

Q_(x) = x⁵ + 7 x³ – 2 Polinomio de grado 5

M_(x) = 0 Polinomio nulo.

Valor numérico de un polinomio

Es el número que se obtiene al sustituir la "x" por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.

Ejemplo:

sea P(x) = x² + 3x – 4 hallar P_{(2), osea x = 2}

P₍₂₎ = 2² + 3.2 – 4 Þ P₍₂₎ = 4 + 6 – 4 Þ P₍₂₎ = 6

Sea

hallar P(1), osea x = 1.

P(1) = -4.

Adición De Polinomios:

Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.

Para sumar

P_(x) = 3x⁴ – 5x² + 7x con Q_(x) = x³ + 2x² – 11x + 3

se procede de de la forma siguiente:

P_(x) + Q_(x) = (3x⁴ – 5x² + 7x) + (x³ + 2x² – 11x + 3)

= 3x⁴ + x³ + x² (2– 5) + x (7 – 11) + 3 =

= 3x⁴ + x³ – 3x² – 4x + 3

ES EL MÉTODO ESTUDIADO EN CLASE.

Multiplicación De Polinomios:

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios

P_(x) = 5x + 11 y Q_(x) = x³ + 2x² + 4:

(aplicamos la ley distributiva)

P_(x).Q_(x)=(5x+11)(x³+2x²+4)

P_(x).Q_(x)=5x⁴+10x³+20x+11x³+22x²+44

(sumamos o restamos)

P_(x) . Q_(x) = 5x⁴ + (10 + 11) x³ + 22x² + 20x + 44

P_(x) . Q_(x) = 5x⁴ + 21 x³ + 22x² + 20x + 44

PARA RESTAR SE HACE LO SIGUIENTE

EJERCICIO 29

11.-

LO QUE SE VA A RESTAR SE PUEDE PONER AL PRINCIPIO O AL FINAL, YA QUE SE LE PONE EL SIGNO NEGATIVO ENFRENTE DEL PARÉNTESIS QUE ES LO QUE NOS INDICA LA RESTA

SE RESUELVE COMO LA SUMA, PERO DEBES RECORDAR QUIEN ES EL QUE SE RESTA, OSEA QUE PARÉNTESIS TIENE EL SIGNO NEGATIVO, YA QUE ESTE LE CAMBIA EL SIGNO A TODOS LOS MONOMIOS DEL PARÉNTESIS.

EJERCICIO 30.

EJEMPLO:

1.- HALLAR LA EXPRESIÓN QUE SUMADO CON:

HACEMOS EL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE:

RECORDEMOS QUE AL DESPEJAR UNA BASE SIGNIFICA PASARLA DEL OTRO LADO DE LA IGUALDAD Y AL HACER ESTO CAMBIA SU SIGNO, LAS BASES QUE YA ESTÁN DEL OTRO LADO SE ESCRIBEN PRIMERO RESPETANDO SU SIGNO.

OBSERVA DE NUEVO COMO SE DEJO "y" SOLA. SE DESPEJARON LAS BASES "x" Y NUMÉRICAS AL OTRO LADO DE LA IGUALDAD Y CAMBIARON DE SIGNO MIENTRAS QUE 3x - 6 PERMANECIO EN SU LUGAR ESCRIBIENDOSE PRIMERO Y SE RESPETARON SUS SIGNOS.

ENTONCES VEMOS QUE AL ENCONTRAR EL POLINOMIO " y " SE CUMPLE EL ENUNCIADO.

MASCOTA

GERARQUIA DE OPERACIONES.

ELIMINACION DE PARENTESIS.

EJEMPLO:

LOS NUMEROS QUE MULTIPLICAN A LOS PARENTESIS NO SE LES HACE NADA HASTA QUE EN EL PARENTESIS SOLO QUEDA UN NUMERO.

OBSERVA COMO.

NO SE SUMO EL 2 Y EL 4 PORQUE EL 4 MULTIPLICA AL PARENTESIS REDONDO.

HASTA QUE SE RESOLVIO EL PARENTESIS REDONDO SE PUDO MULTIPLICAR EL 4.

SIGUE OBSERVANDO EL DESARROLLO.

OBSERVA QUE NO SE SUMA EL 2 CON LOS 3/2 HASTA QUE SE RESUELVE EL PRIMER PARENTESIS CUADRADO.

DESPUES DE RESOLVERSE LA LLAVE ESTE RESULTADO SE MULTIPLICA

CON EL 1/3.

OBSERVA COMO EL -4 Y EL 1/3 PERMANECIERON HASTA EL FINAL.

DEBES RECORDAR QUE LOS NUMEROS QUE MULTIPLICAN A UN PARENTESIS NO LOS PUEDES SUMAR O RESTAR CON NADIE.

RESUELVES EL PARENTESIS Y DESPUES MULTIPLICAS EL NUMERO.

YA HECHO ESTO PUEDES SUMAR O RESTAR EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACION.

REVISA EL EJEMPLO UNA VEZ MAS.

O LAS VECES QUE NECESITAS PARA ENTENDER.

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARA QUE PRACTIQUES.

.

PROPORCIONES DIRECTA E INVERSA

PROPORCION DIRECTA

DECIMOS QUE DOS CANTIDADES a Y b SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES SI SU COCIENTE ES CONSTANTE, ES DECIR:



EJEMPLO:


Si 4 libros cuestan 800 pesos. ¿Cuánto costarán 15?

VEMOS QUE HA MAS LIBROS MAS DINERO, O SEA SI UNA MAGNITUD AUMENTA LA OTRA TAMBIEN AUMENTA.

PROPORCION INVERSA

DECIMOS QUE DOS MAGNITUDES a Y b SON INVERSAMENTE PROPORSIONALES SI SU PRODUCTO ES CONSTANTE, ES DECIR:EJEMPLO:

Cuatro hombres hacen una obra en doce días. ¿En cuántos días podran hacer la obra 7 hombres?

VEMOS QUE HA MAS TRABAJADORES MENOS DIAS. O SEA SI UNA MAGNITUD AUMENTA LA OTRA DISMINUYE.

EJERCICIOS:

SI UNA VARA DE 2.15 m DE LONGITUD DA UNA SOMBRA DE 33.4m,¿CUAL SERA LA ALTURA DE UNA TORRE CUYA SOMBRA, A LA MISMA HORA, ES DE 51 m?

UNA CASA ES DE DOS HERMANOS. LA PARTE DEL PRIMERO, QUE ES LOS CINCO TRECEAVAS PARTES DE LA CASA, ESTA VALUADA EN 260 000 PESOS. HALLAR EL VALOR DE LA PARTE DEL OTRO HERMANO.

UNA CUADRILLA DE OBREROS EMPLEA 14 DIAS, TRABAJANDO 8 HORAS DIARIAS, EN REALIZAR CIERTA OBRA. SI HUBIERAN TRABAJADO UNA HORA MENOS AL DIA, ¿EN CUANTOS DIAS HABRIAN TERMINADO LA OBRA?

UNA MESA TIENE 6 m DE LONGITUD Y 1.5 m DE ANCHO, ¿CUANTO SE DEBE DISMINUIR LA LONGITUD, PARA QUE SIN VARIAR LA SUPERFICIE, EL ANCHO SEA DE 2 m?

NOTACION CIENTIFICA

La notación cientifica es una herramienta que ocupamos para poder escribir números ya sean muy grandes o muy pequeños, y se hace uso de la base 10 elevada a la potencia requerida, osea el numero de espacios que se quiera recorrer el punto decimal, por ejemplo:

Para el primer ejemplo el punto decimal se recorrio 8 espacios a la izquierda, por lo que la potencia de la base 10 es 8 positivo.

Para el ejemplo dos el punto decimal se recorrio 8 espacios a la derecha, por lo que la potencia de la base 10 es 8 negativo.

Las potencias de que tienen la base igual a 10, y exponente entero se les llama potencias de base diez, y

Cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a al derecha del numero 1. En general, es el numero de espacios que se recorre el punto deciamal hacia la derecha, como en el ejemplo uno.

Algunos potencias positivas de base 10:

Cuando el exponente es negativo, nos indica el número de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. En general es el número de espacios que se recorre el punto decimal hacia la izquierda, como en ejemplo dos.

Algunas potencias negativas de base 10:

PROPIEDADES

CONTINUACION PROPIEDADES DE LOS NUMEROS:

ELIMINACION DE PARENTESIS.

GERARQUIA DE OPERACIONES.

1.- PRIMERO SE RESUELVEN LAS OPERNACIONES QUE SE ENCUENTREN EN PARENTESIS PEQUEÑOS, EN RAICES, POTENCIAS, DIVIDIENDO O MULTIPLICANDOSE, A LA VEZ O UNA POR UNA.

2.- AL FINAL SE RESUELVEN LAS SUMAS Y RESTA.

EJEMPLO:

EJERCICIOS: